Clase 17-Identidades trigonometrícas

Identidades trigonométricas, ejercicios resueltos

Identidades trigonométricas básicas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas.

Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras , como las siguientes:

Ejemplo:

Simplifique la expresión usando identidades trigonométricas.

Reescriba tan como sin/cos.

Usando la identidad pitagórica fundamental, obtenemos

Las identidades recíprocas

Example:

Las identidades de cociente

Ejemplo:

Considere la expresión en el lado izquierdo de la ecuación.

  

dentidades Trigonométricas

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Objetivos

• Haciendo uso de las identidades trigonométricas cada estudiante simplificará expresiones trigonométricas con un mínimo de error.
• Haciendo uso de las identidades trigonométricas básicas cada estudiante verificará identidades trigonométricas con un mínimo de error.

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Introducción

En esta lección revisaremos las propiedades de las funciones trigonométricas que estudiamos anteriormente, desde el punto de vista algebraico. Utilizaremos estas propiedades para simplificar expresiones y para verificar identidades, ambas trigonométricas.

Las identidades trigonométricas nos ayudan a simplificar expresiones complejas y de esta forma a comprender mejor el significado de la expresión.

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Identidades TrigonométricasFundamentales

Una Identidad Trigonométrica es una ecuación que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todos los valores de la variable.

En la lección El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno estudiamos algunas identidades fundamentales, las cuales las podemos resumir en la siguiente tabla:

1	${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1
2	$\cos$ -α = cos α
3	$\mathrm{sen}$ -α = - sen α
4	$\mathrm{sen}$ 180 - α = sen α
5	$\cos$ 180 - α = - cos α
6	$\cos$ 180 + α = - cos α
7	$\mathrm{sen}$ 180 + α = - sen α

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Simplificación de Expresiones Trigonométricas

Ejemplo 1:

Simplificar:	$\mathrm{sen}$ x cos2 x - sen x
Solución:	$\mathrm{sen}$ x cos2 x - sen x
Factorizando sen(x)	$\mathrm{sen}$ x ( cos 2 x - 1 )
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) = 1	$\mathrm{sen}$ x ( cos 2 x - ( cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) ) )
	$\mathrm{sen}$ x ( cos 2 x - cos 2 ( x ) - sen 2 ( x ) )
Simplificando	$\mathrm{sen}$ x ( - sen 2 ( x ) )
	$-$ sen 3 ( x )

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Ejemplo 2:

Simplificar:	$$\mathrm{sen}$$ x + cot x cosx
Solución:	$$\mathrm{sen}$$ x + cot x cosx
Reescribiendo cot(x) = cos(x)/sen(x)	$$\mathrm{sen}$$ x + cos x senx cos x
	$$\frac{{\mathrm{sen}}^2}{}$$ x + cos2 xsen x
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) +sen 2 ( α ) = 1	$$\frac{1}{}$$ sen x

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Ejemplo 3:

Simplificar:	$$\frac{}{}$$ x csc x + cos xsec x
Solución:	$$\frac{}{}$$ x csc x + cos xsec x
Reescribiendo sec(x) y csc(x) en términos de seno y coseno	$$\frac{}{}$$ x 1 sen x + cosx 1 cos x
	$${}^{}$$ 2 x + cos 2 x
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2 ( α )= 1	$$1$$

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Ejemplo 4:

Simplificar:	$$\frac{}{}$$ + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1
Solución:	$$\frac{}{}$$ + tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) - 1
Reescribiendo tan(x) y sec(x) en términos de seno y coseno	$$\frac{}{}$$ + sen2 x cos2 x 1 cos2 x- 1
	$$\frac{2}{{}^{}}$$ cos 2 x + sen 2 x cos 2 x1 cos 2 x - 1
	$$2$$ cos 2 x + sen 2 x - 1
	$$cos$$ 2 x + cos 2 x + sen 2 x- 1
	$${}^{}$$ 2 x + cos 2 x + sen 2 x- 1
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2 ( α) = 1	$${}^{}$$ 2 x + 1 - 1
Simplificando	$${\cos }^{}$$ 2 x

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Verificación de Identidades Trigonométricas

Verificar una identidad trigonométrica consiste en demostrar que efectivamente ambos lados de la igualdad son equivalentes. Usaremos operaciones algebraicas e identidades trigonométricas conocidas para convertir uno de los lados de la ecuación exactamente en la forma en que está expresado el otro lado de la ecuación.

Ejemplo 1:

Verificar:	$$\frac{}{}$$ 2 ( x ) -1 sec 2 ( x )= sen 2 ( x )
Solución:
Partiendo del lado izquierdo de la ecuación	$$\frac{}{}$$ 2 ( x ) -1 sec 2 ( x )
Reescribiendo sec(x) en términos de coseno	$$\frac{}{}$$ cos2 x - 1 1 cos2 x
	$$\frac{}{}$$ - cos 2 x cos 2 x 1 cos2 x
	$$\frac{}{}$$ - cos 2 x cos 2 x 1 cos2 x
Simplificando	$$1$$ - cos 2 x
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2( α ) = 1	$$cos$$ 2 ( α ) + sen 2 ( α ) -cos 2 x
Simplificando obtenemos el lado derecho de la ecuación	$${\mathrm{sen}}^{}$$ 2 x

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Ejemplo 2:

Verificar:	$$\frac{1}{}$$ 1- sen ( x ) + 1 1+ sen ( x )= 2 sec 2 ( x )
Solución:
Partiendo del lado izquierdo de la ecuación	$$\frac{1}{}$$ 1- sen ( x ) + 1 1+ sen ( x )
Combinando las fracciones	$$\frac{1}{}$$ + sen ( x ) + 1 - sen ( x ) 1 -sen ( x ) 1 + sen ( x )
Simplificando	$$\frac{2}{}$$ 1 - sen2 ( x )
Usando la identidad ${\cos }^{}$ 2 ( α ) + sen 2 ( α )= 1	$$\frac{2}{}$$ cos 2 ( α ) + sen 2 ( α ) -sen2 ( x )
Simplificando	$$\frac{2}{}$$ cos 2 ( x )
Usando la definición de sec(x) obtenemos el lado derecho de la ecuación	$$2$$ sec 2 ( x )

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